Phương tính tổng dãy số phân số

Chứng minh công thức :
\frac{1}{a}-\frac{1}{a+n} =\frac{n}{a(a+n)}
ta có :
\frac{1}{a}-\frac{1}{a+n} = \frac{a+n}{a(a+n)}-\frac{a}{a(a+n)}
=\frac{a+n-a}{a(a+n)}
=\frac{n}{a(a+n)}  -> đpcm.
 Ứng dựng tính tổng :
————————————-
bài 1 :
A = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} +...+ \frac{1}{2014.2015}
Nhận xét :
+ n = 1
+ dãy số có 2014 phần tử
+ a thuộc {1; 2; …; 2014}
+ Áp dụng công thức cho từng phân số : \frac{1}{a}-\frac{1}{a+n} =\frac{n}{a(a+n)}
Giải.
ta có :
\frac{1}{1.2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}         [a = 1; n = 1]
\frac{1}{2.3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}        [a = 2; n = 1]
…
\frac{1}{2014.2015} = \frac{1}{2014} - \frac{1}{2015}  [a = 2014; n = 1]
cộng các phân số trên, ta được :
A=(\frac{1}{1} - \frac{1}{2})+(\frac{1}{2} - \frac{1}{3})+ ... +(\frac{1}{2014} - \frac{1}{2015})
A=\frac{1}{1} - \frac{1}{2}+\frac{1}{2} - \frac{1}{3}+ ... +\frac{1}{2014} - \frac{1}{2015}
A=\frac{1}{1} - \frac{1}{2015}
A=\frac{2015-1}{2015}=\frac{2014}{2015}
Vậy : A=\frac{2014}{2015}
————————————-
Bài 2 :
B = \frac{2}{1.3} + \frac{2}{3.5} +...+ \frac{2}{2013.2015}
Nhận xét :
+ n = 2
+ dãy số có (2013 – 1) : 2 + 1 phần tử
+ a thuộc {1; 3; …; 2013}
+ Áp dụng công thức cho từng phân số : \frac{1}{a}-\frac{1}{a+n} =\frac{n}{a(a+n)}
Giải.
ta có :
\frac{2}{1.3} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3}         [a = 1; n = 2]
\frac{2}{3.5} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5}        [a = 3; n = 2]
…
\frac{2}{2013.2015} = \frac{1}{2013} - \frac{1}{2015}  [a = 2013; n = 2]
cộng các phân số trên, ta được :
A=(\frac{1}{1} - \frac{1}{3})+(\frac{1}{3} - \frac{1}{5})+ ... +(\frac{1}{2013} - \frac{1}{2015})
A=\frac{1}{1} - \frac{1}{3}+\frac{1}{3} - \frac{1}{5}+ ... +\frac{1}{2013} - \frac{1}{2015}
A=\frac{1}{1} - \frac{1}{2015}
A=\frac{2015-1}{2015}=\frac{2014}{2015}
Vậy : A=\frac{2014}{2015}
————————————-
Bài 3 :
C = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} +...+ \frac{1}{2013.2017}
Giải.
4C = \frac{4}{1.5} + \frac{4}{5.9} +...+ \frac{4}{2013.2017}
ta có :
\frac{4}{1.5} = \frac{1}{1} - \frac{1}{5}         [a = 1; n = 4]
\frac{4}{5.9} = \frac{1}{5} - \frac{1}{9}        [a = 5; n = 4]
…
\frac{4}{2013.2017} = \frac{1}{2013} - \frac{1}{2017}  [a = 2013; n = 4]
cộng các phân số trên, ta được :
4C=(\frac{1}{1} - \frac{1}{5})+(\frac{1}{5} - \frac{1}{9})+ ... +(\frac{1}{2013} - \frac{1}{2017})
4C=\frac{1}{1} - \frac{1}{5}+\frac{1}{5} - \frac{1}{9}+ ... +\frac{1}{2013} - \frac{1}{2017}
4C=\frac{1}{1} - \frac{1}{2017}
4C=\frac{2017-1}{2015}=\frac{2016}{2015}
Vậy : C=\frac{504}{2015}