BÀI 2

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

–o0o–




Định nghĩa :
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại H. trên d lấy điểm B không trùng với H. khi đó :
  • Đoạn thẳng AH : gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng d.
  • Điểm H : gọi là chân của  đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
  • Đoạn thẳng AB : gọi là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
  • Đoạn thẳng HB : gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.
Định lí 1 :
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Định lí 2 :
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó :
  • đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
  • đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
  • Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, ngược lại, Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.


BÀI TẬP SGK – SBT :

BÀI 13 TRANG 60 : chứng minh
a)      BE < BC
b)      DE < BC.

GIẢI.

a) BE < BC
Ta có : AB \bot  AC suy ra :
AC là hình chiếu của BC lên AC.
AE là hình chiếu của BE lên AC.
Mà : AE < AC => BE < BC (1)
b) DE < BC
Ta có : AE \bot  AB suy ra :
AB là hình chiếu của BE lên AB.
AD là hình chiếu của DE lên AB.
Mà : AD < AB => DE < BE (2)
Từ (1) và (2) : DE < BE < BC hay DE < BC
BÀI 17 TRANG 38 SBT :
Cho hình bên : với AB > AC . chứng minh : EA > EC.
Ta có :
BH là hình chiếu của AB lên BC.
CH là hình chiếu của AC lên BC.
Mà : AB > AC (gt)
=> BH > CH
Ta lại có :
BH là hình chiếu của EB lên BC.
CH là hình chiếu của EC lên BC.
Mà : BH > CH (cmt)
=> EB > EC.
BÀI 18 TRANG 39 SBT : cho hình bên . chứng minh : BD + CE < AB + AC

GIẢI.

Ta có : CE \bot  AB tại E, ta được :
CE là đường vuông góc, CA là đường xiên.
=> CE < AC(1)
Ta lại có : BD \bot  AC tại D, ta được :
BD là đường vuông góc, AB là đường xiên.
=> BD < AB (2)
Cộng (1) và  (2), ta được : BD + CE < AB + AC

==================

BÀI TẬP RÈN LUYỆN :

BÀI 1 :
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC.
  1. Vẽ các điểm E, D, F lần lượt là hình chiếu của M lên AB, CB, AC.
  2. Chứng minh : MF + MD + MF < MA +MB + MC.
BÀI 2 :
Cho tam giác ABC nhọn AB < AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẽ từ A đến BC.
  1. Chứng minh : AH < (AB + AC) : 2
  2. Lấy điểm M nằm giữa A và H. so sánh : MB và MC.
BÀI 3 :
Cho tam giác ABC vuông tại A. tia phân giác của góc B cắt AC tại D. so sánh : DE và DC

======================

BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI :

Bài 1 :
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. đường thẳng d qua A. từ B và C kẻ BE và CF cùng vuông góc d (E, F thuộc d).
a)      Chứng minh : ABE = ACF.
b)      Chứng minh : BE + CF = EF.
c)      Xác định vị trí của d để A là trung điểm EF.
Bài 1 :
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao  AH. Trên cạnh huyền BC lấy M sao cho BM = BA, Trên cạnh huyền AC lấy N sao cho AN = AH. Chứng minh rằng :
a)      AM là phân giác của góc HAC.
b)      MN vuông góc AC.
c)      AH + BC > AB + AC.