Chuyên đề bất đẳng thức hình học trong tam giác lớp 7


A. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác

–o0o–

Định lí 1 :
Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Định lí 2 :
Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Trong Δ ABC, ta có : AB < AC < BC  <=> \widehat{C} < \widehat{B} < \widehat{A}

b. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

–o0o–

Định nghĩa :
Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng d tại H. trên d lấy điểm B không trùng với H. khi đó :
  • Đoạn thẳng AH : gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng d.
  • Điểm H : gọi là chân của  đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.
  • Đoạn thẳng AB : gọi là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.
  • Đoạn thẳng HB : gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.
Định lí 1 :
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Định lí 2 :
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó :
  • đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
  • đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
  • Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, ngược lại, Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

C. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác . bất đẳng thức  tam giác.

–o0o–

Định lí :
Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại.
Hệ quả :
Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn nhỏ hơn cạnh còn lại.

Bài tập vận dụng :

bài 1 : Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. chứng minh rằng : \widehat{MAB} > \widehat{MAC}
Giải.
Trên tia đối của tia MA, lấy điểm N sao cho MN = MA.
Xét ΔACM và ΔNBM, ta có :hai tam giac bang nhau c - g - c
 MB = MC (M là trung điểm của BC)
\widehat{AMC}=\widehat{NMB}  (đối đỉnh).
MA = MN (gt).
=> ΔACM = ΔNBM (c -g -c)
=> \widehat{BAM}=\widehat{CNM}   và AB = NC
Xét ΔACN, ta có :
AB = NC (cmt) ; AB < AC (gt)
=> NC < AC
=> \widehat{MAC}<\widehat{CNM}  (cạnh lớn – góc lớn)
mà : \widehat{BAM}=\widehat{CNM}
vậy : \widehat{MAC}<\widehat{MAB}
Bài 2 : Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC. Chứng minh : AB + AC > 2AM.
 Giải.
Trên tia đối của tia MA, lấy điểm N sao cho MN = MA.
=> AN = 2AM
Xét ΔACM và ΔNBM, ta có :hai tam giac bang nhau c - g - c
 MB = MC (M là trung điểm của BC)
\widehat{AMC}=\widehat{NMB}  (đối đỉnh).
MA = MN (gt).
=> ΔACM = ΔNBM (c -g -c)
=>  AB = NC
Xét ΔACN, ta có :
AC + CN > AN (định lí tam giác)
mà : CN = AB (cmt) ; AN = 2AM (cmt)
vậy : AB + AC > 2AM -> đpcm
Bài 3 : Cho tam giác DEF có DE < DF. Vẽ đường cao DH.
  1.  So sánh HE và HF.
  2. Lấy M trên DH. So sánh ME và MF.
  3. So sánh góc HDE và góc HDF
  Giải.
1). Ta có : EF \bot  DH tại H,  suy ra :bat dang thuc trong tam giac hinh hoc lop 7 - duong xien + hinh chieu
EH là hình chiếu của ED lên EF.
FH là hình chiếu của FD lên EF.
mà : DE < DF (gt)
=> EH < FH.
2. So sánh ME và MF.
Ta lại có :
EH là hình chiếu của EM lên EF.
FH là hình chiếu của FM lên EF.
mà : EH < FH (cmt)
=> ME < MF -> đpcm.
3. (các bạn tự trình bày nhé – coi như là bài thực hành)