BÀI 4

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

–o0o–

Định nghĩa :
Đường trung tuyến là đường nối từ một đỉnh và trung điểm cạnh đối diện.
Trong một tam giác, có ba đường trung tuyến.
Định lí :
Trong một tam giác, có ba đường trung tuyến cùng nhau tại một điểm. điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng \frac{2}{3}  độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

=================

BÀI TẬP SGK – SBT :

BÀI 28 TRANG 67 :
Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến DI.
a)      Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI.
b)      Các góc DIE và góc DIF là góc gì ?
c)      DE = DF = 13cm, EF = 10cm. tính DI.

Giải.

a)      Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI.
Xét ΔDEI và ΔDFI, ta có :
DE = DF (gt)
IE = IF ( DI là trung tuyến)
DI cạnh chung.
=> ΔDEI = ΔDFI (c – c – c)
b) Các góc DIE và góc DIF :
\widehat{DIE}=\widehat{DIF}  (ΔDEI = ΔDFI)
Mà : \widehat{DIE}+\widehat{DIF}=180^0  (E, I,F thẳng hàng )
=> \widehat{DIE}=\widehat{DIF}=90^0
c) tính DI :
IE = EF : 2 = 10 : 2 = 5cm
Xét ΔDEI vuông tại I, ta có :
DE2 = DI2 + IE2
=> DI2 = DE2 – IE2 =132 – 52 = 144
=> DI = 12cm.
—————————————————————————————–
BÀI 38* TRANG 43 SBT  :
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a)      Tính số đo góc ABD
b)      Chứng minh : ABC = BAD.
c)      So sánh độ dài AM và  BC.

Giải.

a)      Tính số đo góc ABD
Xét ΔAMC và ΔDMB, ta có :
MA = MD (gt)
\widehat{AMC}=\widehat{DMB}  (đối đỉnh)
MC = MB (gt)
=> ΔAMC = ΔDMB
=> \widehat{B_1}=\widehat{C}  (góc tương ứng);
Mà : \widehat{B_2}+\widehat{C}=90^0  (ΔABC vuông tại A)
=> \widehat{B_1}+\widehat{B_2}=90^0
Hay \widehat{ABD}=90^0
b)Chứng minh : ABC = BAD
Xét ABC và BAD, ta có :
\widehat{BAC}= \widehat{ABD}=90^0
AB cạnh chung.
AC = BD (AMC = ΔDMB)
=> ΔABC =Δ BAD
c)So sánh độ dài AM và  BC :
AM = AD : 2 (gt).
Mà : AD = BC (ΔABC =Δ BAD)
=> AM = BC : 2

======================

Bài toán tổng hợp :
Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a)      Chứng minh : ΔAMB =ΔDMC và AB // CD.
b)      Gọi F là trung điểm CD. tia FM cắt AB tại K. Chứng minh : M là trung điểm KF.
c)      Gọi E là trung điểm của AC. BE cắt AM tại G. Chứng minh : 3 điểm K, G và I là trung điểm của AF thẳng hàng.

GIẢI.

Xét ΔAMB và ΔDMC, ta có :gia su toan lop 7 - hai tam giac bằng nhau - duuong trung tuyen
MA = MD (gt)
\widehat{AMB}=\widehat{CMD}  (đối đỉnh)
MC = MB (AM là đường trung tuyến)
=> ΔAMB =ΔDMC (c – g – c)
=> \widehat{BAM}=\widehat{MCD}  (góc tương ứng);
mà : \widehat{BAM},\widehat{MCD}  ở vị trí so le trong.
=> AB // CD
b)Xét ΔKMB và ΔFMC, ta có :
\widehat{KMB}=\widehat{CMF}  (đối đỉnh)
MC = MB (AM là đường trung tuyến)
\widehat{KBM}=\widehat{FCM}  (so le trong)
=> ΔKMB =ΔFMC (g – c – g)
=> MK = MF
hay M là trung điểm KF.
c)
Ta có : CF = FD = DC : 2 (gt)
AB = CD (ΔAMB =ΔDMC)
AK + KB = CF + FD
Mà : KB = CF (ΔKMB =ΔFMC)
=> AK = KB = FD = AB : 2
Xét ΔABC, ta có :
AM là đường trung tuyến thứ 1 (gt)
FA = FC (gt) => BF là đường trung tuyến thứ 2.
mà : AM căt BF tại G.
=> G là trọng tâm của ΔABC.
=> CG là đường trung tuyến thứ 3.
mà : KA = KB (cmt)
=> K, G nằm trên đường thẳng KC (I).
gọi AF cắt CK tại O.
Xét ΔKAO và ΔCFO, ta có :
\widehat{KAO}=\widehat{OFC}  (so le trong)
AK = CF (cmt)
\widehat{AKO}=\widehat{OCF}  (so le trong)
=> ΔKAO và ΔCFO (g – c – g)
=> OA = OF
hay : O là trung điểm của AF.
mà : I là trung điểm của AF.
=> O trùng I
vậy : AF cắt CK tại I.
=> I nằm trên đường thẳng KC
mà : K, G nằm trên đường thẳng KC (cmt).
=> K, G, I nằm trên đường thẳng KC.
vậy : K, G, I thẳng hàng.