Bài 9

Tính chất ba đường cao của tam giác

–o0o–

Định nghĩa :

Trong tam giác, đoạn thẳng kẻ vuông góc từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao.

Định lí :

Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. điểm này gọi là trực tâm.

Tính chất :

Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung , đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện của cạnh đó.

=================================

BÀI TẬP SGK :

BÀI 59 TRANG 83 : Cho hình 57 :

Chứng minh : NS $\bot$ ML
Khi $\widehat{LNP} =50^0$ . tính $\widehat{MSP}$ ; $\widehat{PSQ }$

GIẢI.

A/ Chứng minh : NS $\bot$ ML

Xét ΔMNL, TA CÓ :

LP $\bot$ MN (gt) => LP là đường cao thứ nhất.

MQ $\bot$ LN (gt) => MQ là đường cao thứ hai.

LP cắt MQ tại S.

=> S là trực tâm của ΔMNL

=> NS là đường cao thứ ba.

=> NS $\bot$ ML

b/ tính $\widehat{MSP}$ ; $\widehat{PSQ }$

Xét tam giác MNQ, ta có :

$\widehat{QMN} +\widehat{MQN} + \widehat{QNM} = 180^0$

$\widehat{QMN}+ 90^0 + 50^0 = 180^0$

=> $\widehat{QMN} = 40^0$

Xét tam giác MSP, ta có :

$\widehat{MSP} +\widehat{SPM} + \widehat{ SMP} = 180^0$

$\widehat{MSP}+ 90^0 + 40^0 = 180^0$

=> $\widehat{MSP} = 50^0$

Mà : $\widehat{MSP}+\widehat{PSQ}= 180^0$

$50^0 +\widehat{PSQ}= 180^0$

=> $\widehat{PSQ}= 130^0$

———————————————————————————————————–

BÀI 78 TRANG 32 SBT :

Cho tam giác ABC cân tại A, có đường cao CH cắt tia phân giác góc A tại D. chứng minh BD vuông góc AC.

GIẢI.

XÉT tam giác ABC cân tại A, Có :

AE là tia phân giác (gt)

=> AE đường cao thứ nhất.

CH đường cao thứ hai (gt) .

AE cắt CH tại D.

=> D là trực tâm.

=> BD là đường cao thứ ba.

=> BD vuông góc AC.

BÀI tổng ôn :

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.

a) Chứng minh : BC = DE.

b) Chứng minh : tam giác ABD vuông cân và BD // CE.

c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC tia AH cắt cạnh DE tại M. từ A kẻ đường vuông góc CM tại K, đường thẳng này cắt BC tại N . Chứng minh : NM // AB.

d) Chứng minh : AM = DE/2.

GIẢI.

a) Xét Δ ABC và Δ AED, ta có :

$\widehat{BAC}= \widehat{DAC}=90^0$ (đối đỉnh)

AB = AD (gt)

AC = AD (gt)

=> Δ ABC = Δ AED (hai cạnh góc vuông)

=> BC = DE

Xét Δ ABD, ta có :

$\widehat{BAC}=90^0$ (Δ ABC vuông tại A)

=> AD $\bot$ AE

=> $\widehat{BAD}=90^0$

=> Δ ABD vuông tại A.

mà : AB = AD (gt)

=> Δ ABD vuông cân tại A.

=> $\widehat{BDC}=45^0$

cmtt : $\widehat{BCE}=45^0$

=> $\widehat{BDC}=\widehat{BCE}=45^0$

mà : $\widehat{BDC},\widehat{BCE}$ ở vị trí so le trong

=> BD // CE

b) Xét Δ MNC, ta có :

NK $\bot$ MC = > NK là đường cao thứ 1.

MH $\bot$ NC = > MH là đường cao thứ 2.

NK cắt MH tại A.

=> A là trực tâm. = > CA là đường cao thứ 3.

=> MN $\bot$ AC tại I.

mà : AB $\bot$ AC

=> MN // AB.

c) Xét Δ AMC, ta có :

$\widehat{MAE}= \widehat{BAH}$ (đối đỉnh)

$\widehat{MEA}= \widehat{BCA}$ (Δ ABC = Δ AED)

=> $\widehat{MAE}=\widehat{MEA}$ (cùng phụ góc ABC)

=> Δ AMC cân tại M

=> AM = ME (1)

Xét Δ AMI và Δ DMI, ta có :

$\widehat{AIM }= \widehat{DIM}=90^0$ (MN $\bot$ AC tại I)

IM cạnh chung.

mặt khác : $\widehat{IMA }= \widehat{MAE}$ (so le trong)

$\widehat{DMI }= \widehat{MEA}$ (đồng vị)

mà : $\widehat{MAE}=\widehat{MEA}$ (cmt)

=> $\widehat{IMA }= \widehat{IMD}$

=> Δ AMI = Δ DMI (góc nhọn – cạnh góc vuông)

=> MA = MD (2)

từ (1) và (2), suy ta : MA = ME = MD

ta lại có : ME = MD = DE/2 (D, M, E thẳng hàng)

=>MA = DE/2.