Blog Toán Học

ÔN TẬP TOÁN HÌNH HỌC LỚP 8 HKI

BÀI 1 : Cho tam giác ABC cân tại A.Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, AC.

Vẽ điểm M là điểm đối xứng của điểm B qua điểm F và điểm N là điểm đối xứng của điểm E qua điểm D.1) Chứng minh:

a/ Tứ giác BCFD là hình thang cân.

b/ Tứ giác ADEF là hình thoi.

c/ Tứ giác ABCM là hình bình hành.

d/ Tứ giác ANBE là hình chữ nhật.

GIẢI.

a/ Tứ giác BCFD là hình thang cân.

Xét 𝛥ABC, ta có :

DA = DB (gt)

FA = FC (gt)

=> DF là đường trung bình trong 𝛥ABC.

=> DF // BC

=> Tứ giác BCFD là hình thang

Mà : $\widehat{ABC} =\widehat{ACB}$ (𝛥ABC cân tại A)

=> hình thang BCFD là hình thang cân.

b / Tứ giác ADEF là hình thoi :

Ta có :

AB = AC (gt)

AD = AB : 2 (gt)

AF = AC : 2 (gt)

=> AD = AF = AC : 2 = AB : 2 (1)

Xét ΔABC, ta có :

DA = DB (gt)

EB = EC (gt)

=> DE là đường trung bình

=> DE = AC : 2 (2)

Cmtt, ta được : EF = BA : 2 (3)

Từ (1), (2) và (3) ta được : AD = AF = DE = EF

Vậy tứ giác ADEF là hình thoi.

c/ Tứ giác ABCM là hình bình hành :

Xét Tứ giác ABCM, ta có :

FB = FM (M là điểm đối xứng của điểm B qua điểm F)

FA = FC (gt)

Mà hai đường chéo BM và AC cắt nhau tại F.

=>Tứ giác ABCM là hình bình hành.

d/ Tứ giác ANBE là hình chữ nhật :

Xét ΔABC cân tại A, ta có :

EB = EC (gt)

=>AE là đường trung tuyến trong tam giác cân cũng là đường cao.

=> AE $\bot$ BC hay $\widehat{AEB} =90^0$

Xét Tứ giác ANBE, ta có :

Xét Tứ giác ABCM, ta có :

DE = DN (N là điểm đối xứng của điểm E qua điểm D)

DA = DB (gt)

Mà hai đường chéo EN và AB cắt nhau tại D.

=>Tứ giác ANBE là hình bình hành.

Mà : $\widehat{AEB} =90^0$ (cmt)

Nên : hình bình hành ANBE là hình chữ nhật.

————————————————————————————————

BÀI 2 :

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA.

a/ Chứng minh: Tứ giác MNPQ làhình bình hành.

b/ Chứng minh: Tứ giác MNPQ làhình thoi.

c/ Nếu AC $\bot$ BD thì tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

Giải

Tứ giác MNPQ làhình bình hành :

Xét ABD, ta có :

MA = MB (gt)

QA = QD (gt)

=> MQ là đường trung bình.

=> MQ // BD và MQ = BD : 2 (1)

Cmtt, ta được :

NP // BD và NP = BD : 2 (2)

NM // AC và NM = AC : 2 (3)

Từ (1) và (2) : MQ // NP và MQ = PP

=> Tứ giác MNPQ làhình bình hành.

b/Tứ giác MNPQ làhình thoi.

ta có :

AC = BD ( hai đường chéo hình thang cân ABCD)

NM = AC : 2 (cmt)

MQ = BD : 2 (cmt)

=> NM = MQ

Xét hình bình hành MNPQ, ta có :

NM = MQ (cmt)

=> hình bình hành MNPQ là hình thoi.

c/Nếu AC $\bot$ BD thì tứ giác MNPQ là hình gì?

Nếu AC $\bot$ BD

NM // AC (cmt)

NP // BD (cmt)

=> NM $\bot$ NP tại N

Hay $\widehat{MNP} =90^0$

Xét hình thoi MNPQ , ta có : $\widehat{MNP} =90^0$ (cmt)

=> hình thoi MNPQ là hình vuông.

——————————————————————————————————–

BÀI 3 :

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường trung tuyến AO. Trên tia đối của tia OA lấy điểm D sao cho OD = OA.

Chứng minh : ABDC là hình chữ nhật.
Từ B kẻ BH vuông góc AD tại H, Từ C kẻ CK vuông góc AD tại K. chứng minh BH = CK và BK // CH.
Tia BH cắt CD ở M, tia CK cắt AB ở K. chứng minh ba điểm M, O, N thẳng hàng.
Trên tia đối của tia BH lấy điểm E sao cho BE = AD. Chứng minh $\widehat{DCE}=45^0$